آموزش مثلثات

در این مقاله سعی کردیم نکات اصلی و مهم فصل مثلثات را مورد بررسی قرار دهیم که یکی از مهم‌ترین بخش های درس ریاضی محسوب می شود. از جمله نسبت های مثلثاتی ، قضیه کسینوس ها و سینوس ها در مثلث، جدول مثلثات ، دایره مثلثاتی ، روابط مثلثاتی ، کمان های دو آلفا ، توابع مثلثاتی، دوره تناوب ، اتحادهای مثلثاتی ، معادله مثلثاتی و …

زاویه و نسبت های مثلثاتی

زاویه: به قسمتی از صفحه‌ی محدود بین دو نیم‌خط متقاطع را زاویه گویند.

در مثلثات، راس زاویه روی مبدا مختصات و یک ضلع آن همیشه روی جهت مثبت محور x ها است و ضلع دیگر آن بنا به اندازه‌ی زاویه، متحرک است. ضلع متحرک اگر در جهت عقربه‌های ساعت حرکت کند، زاویه‌ی منفی و اگر در خلاف جهت حرکت عقربه‌های ساعت، حرکت کند، زاویه مثبت است. دو واحد برای اندازه‌گیری زاویه داریم: 1- درجه      2- رادیان.

درجه: اگر محیط دایره را به 360 قسمت مساوی تقسیم کنیم، به اندازه‌ی زاویه‌ی مرکزی روبه‌روی هر کمان، درجه می‌گوییم.

رادیان: اندازه‌ی زاویه‌ی مرکزی دایره‌ای که طول کمان روبه‌روی آن با شعاع دایره مساوی باشد را یک رادیان می‌گوییم.

رابطه‌ بین درجه و رادیان

اگر درجه را با نماد D و رادیان را با R نشان دهیم، رابطه‌ی درجه و رادیان به صورت زیر است:

نکته: یک رادیان حدود 57 درجه است.

محاسبه‌ طول کمان

فرض کنیم دایره‌ای به شعاع r داریم. رابطه‌ی بین زاویه‌ی مرکزی ( برحسب رادیان) و طول کمان L روبه‌روی همین زاویه از رابطه‌ی زیر به دست می‌آید:

نسبت های مثلثاتی

در یک مثلث قائم‌الزاویه، نسبت های سینوس، کسینوس، تانژانت و کتانژانت را نسبت های مثلثاتی می‌نامیم. با توجه به مثلث شکل زیر، نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌ی A را به صورت زیر می‌نویسیم:

نسبت های مثلثاتی زوایای 30 ، 45 و 60 درجه

فرمول های مثلثاتی مساحت

1) در مثلث اگر دو ضلع و زاویه‌ی بین آنها معلوم باشد، مساحت از رابطه‌ی زیر محاسبه می‌شود:

2) می‌توانیم مساحت متوازی‌الاضلاع را با داشتن دو ضلع و زاویه‌ی بین آنها از رابطه‌ی زیر به‌دست آوریم:

نکته: اگر طول دو قطر متوازی‌الاضلاع به همراه زاویه‌ی بین‌شان را داشته باشیم، مساحت از فرمول زیر مشخص می‌شود.

رابطه‌ سینوس ها و کسینوس ها در مثلث

قضیه کسینوس ها

دایره مثلثاتی

گفتیم در مثلثات هر زاویه، یک راس و دو ضلع دارد که یکی از ضلع‌های آن روی جهت مثبت محور ها و ضلع دیگر آن متحرک است. اگر در جهت ساعت‌گرد حرکت کند، منفی و اگر پادساعت‌گرد حرکت کند، زاویه مثبت است. دایره‌ مثلثاتی، دایره‌ای به شعاع واحد و مرکز مبدا مختصات است که زوایا روی آن مانند تعریف اخیر است.

مانند شکل زیر، هر دایره مثلثاتی از 4 ناحیه یا ربع تشکیل شده است که به صورت زیر معرفی می‌شوند:

مختصات نقطه روی دایره‌ مثلثاتی

در دایره مثلثاتی، محور طول‌ها، محور cos و محور عرض‌ها، محور sin است. بنابراین

نسبت های مثلثاتی 0 ، 90 ، 180 ، 270 و 360 درجه 

علامت نسبت های مثلثاتی در دایره‌ی مثلثاتی

رابطه‌ی نسبت‌های مثلثاتی دو زاویه‌ی قرینه

1) نسبت‌های مثلثاتی دو زاویه‌ مکمل

2) نسبت‌های مثلثاتی دو زاویه‌ متمم

روابط بین دو زاویه متمم

رابطه‌ی نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های بزرگتر از 360 درجه

وقتی زاویه از 360 بزرگتر است، به این معنی است که حداقل یک‌ بار دایره‌ی مثلثاتی را به طور کامل سپری کرده است و می‌تواند از زاویه‌ی مذکور عدد 360 (یا حتی ضریب 360، بستگی به این دارد که چند بار دایره را دور زده است) کم شود و بعد مقدار نسبت را به دست آوریم.

توابع مثلثاتی

تابع سینوس

در بخش دایره‌ی مثلثاتی دیدیم که سینوس در ناحیه‌های اول و دوم مثبت و در ناحیه‌های سوم و چهارم منفی است. در ربع اول، مقدار سینوس با افزایش زاویه، افزایش پیدا می‌کند و مقدار آن به عدد یک می‌رسد. در ناحیه دوم، با افزایش زاویه، مقدار سینوس از عدد یک به صفر کاهش می‌یاید. سینوس این کاهش مقدار را در ناحیه سوم ادامه می‌دهد و تا کم‌ترین مقدار خود یعنی 1- کاهش می‌یابد. اما در ربع چهارم دوباره روند افزایشی را پیش می‌گیرد و با بیشتر شدن زاویه مقدار آن هم (سینوس) اضافه می‌شود و به عدد صفر می‌رسد.

نکته: در توابع y=a sin(x+b) و y=a cos(x+b) بیشترین مقدار برابر |a| و کم‌ترین مقدار برابر |a|- است.

تابع کسینوس

در دایره‌ی مثلثاتی دیدیم که کسینوس در ناحیه‌های اول و چهارم مثبت و در ناحیه‌های دوم و سوم، منفی است.

از نمودار تابع کسینوس نتایج زیر حاصل می شود:

دوره‌ تناوب

نمودار تابع سینوس را ببینید:

حالا فرض کنید می‌خواهیم دوره‌ تناوب تابع y=sin2x را تعیین کنیم. برای این کار از رسم کمک می‌گیریم. در فصل تابع دیدیم که اگر نمودار f(x) را داشته باشیم و بخواهیم نمودار f(2x) را رسم کنیم باید طول نقاط روی نمودار را نصف کنیم. پس در اینجا با استفاده از نمودار y=sinx داریم:

تابع تانژانت

مطابق شکل زیر محور تانژانت یک خط عمودی همین بغل دایره است!

برای تعیین مقدار تانژانت یک زاویه روی دایره‌ی مثلثاتی، کافی است از انتهای کمان خطی در امتداد ضلع دوم زاویه طوری رسم کنیم که محور تانژانت را قطع کند. در این صورت، با توجه به مبدا محور تانژانت، مقدار و علامت تانژانت زاویه را تعیین می‌کنیم.

حالا این نسبت را به صورت یک تابع بررسی می‌کنیم:

فرم اصلی تابع تانژانت به صورت f(x)=tanx نمایش داده می‌شود. نمودار این تابع را با مقداردهی رسم می‌کنیم. البته باید توجه داشته باشید که به خاطر ذات کسری تابع تانژانت رسم آن با مقداردهی کمی سخت و البته غیر معمول است.

حالا این نقاط را روی محورهای مختصات نمایش می‌دهیم و نمودار تابع را رسم می‌کنیم:

نکات مربوط به تابع تانژانت

نمودار تابع cotx

نکات مربوط به تابع cotx 

روابط مثلثاتی

در سال دهم و یازدهم چند رابطه‌ی مثلثاتی یاد گرفتیم. در این قسمت این روابط را مرور کرده و برای یادگیری رابطه‌های جدید آماده می‌شویم:

مجموع و تفاضل زوایا

بسط سینوس

بسط کسینوس

بسط تانژانت

فرمول‌های کمان دو آلفا

با کمک دایره‌ی مثلثاتی می‌توان نشان داد روابط مهم زیر برقرار هستند:

این دو رابطه را هم به خاطر بسپارید:

اتحادهای مثلثاتی

با کمک اتحادها، روابط زیر به دست می‌آیند:

معادله‌ مثلثاتی

به معادله‌ای که در آن نسبت مثلثاتی داشته باشیم معادله‌‌ی مثلثاتی گفته می‌شود.

ساده ترین معادلات مثلثاتی، چهار معادله‌ی زیر هستند که به بررسی جواب‌های آن‌ها می‌پردازیم:

برای حل این نوع معادلات دو روش 1) هندسی (رسم نمودار) و 2) استفاده از دایره‌ی مثلثاثی وجود دارد. با دو تست زیر به بررسی این دو روش می‌پردازیم:

تذکر: از روش هندسی، بیشتر برای پیدا کردن تعداد جوابهای معادله استفاده می‌کنیم.

نکته: بعضی وقت‌ها یک معادله مثلثاتی دو یا چند دسته جواب دارد و این دسته‌ها به صورت یک دسته جواب قابل نمایش هستند (مثل جواب معادله‌ی tanx=1) پس در جدول زیر این موضوع را بررسی می‌کنیم.

دو فرم زیر، از ترکیب دو تا از فرم‌های جدول بالا حاصل شده‌اند:

حالت های خاص معادلات مثلثاتی

1) حل معادلات به فرم cotu=cotv, tanu=tanv, cosu=cosv, sinu=sinv

دراین معادلات فرض بر این است که  توابعی خطی برحسب  هستند. برای حل این نوع معادلات از روابطی که تا الان خوانده‌ایم استفاده می‌کنیم.

برای هر قسمت یک تست مطرح می‌کنیم تا ببینم چقدر نکات مربوطه رو یاد گرفتی. حلش با خودت! 😉

نکته:در بعضی مواقع ممکن است دو طرف تساوی از یک جنس نسبت مثلثاتی تشکیل نشده باشند، به‌عنوان نمونه sin2x . اما با یک تغییر کمان که همان متمم سازی است به هم تبدیل می‌شوند، روابط زیر را به‌عنوان یادآوری از درسهای قبل می‌آوریم:

نکته: در بعضی مواقع دیگر ممکن است، دو طرف تساوی دارای نسبت‌های مثلثاتی یکسان باشند اما یکی از آن دو طرف ضریب منفی داشته باشد، به عنوان نمونه tanx=-tan2x. برای یادآوری و رفع این حالت، عبارت‌های زیر را به خاطر بیاوریم:

2) حل معادلات به کمک تجزیه، فاکتورگیری و تغییر متغیر

با استفاده از تکنیک‌های نام برده شده، معادله را حل می‌کنیم.

3) معادله‌ کسری مثلثاتی

این نوع معادلات شامل عبارت‌های کسری هستند که در صورت و مخرج آن از توابع مثلثاتی استفاده شده است. در این موقع باید حواسمان به ریشه‌های مخرج کسر باشد، اگر این ریشه‌ها در ریشه‌های معادله‌ی اصلی وجود دارند، آن‌ها را حذف کنیم.

4) استفاده از اتحادهای مثلثاتی

5) استفاده از برد توابع و عبارت‌های مثلثاتی

در درس‌های قبلی فهمیدیم که برد توابع سینوس و کسینوس [1,1-] است. به نکات زیر توجه کنید.

6) در حل معادلات به فرم …

7) در برخی از معادلات هم ممکن است علاوه بر استفاده از معادله‌ی مثلثاتی نیاز به تغییر متغیر و …. هم داشته باشیم.

این تست جوندارتر از بقیه است 😉

جمع بندی

با این نکات و درسنامه خفنی که از فصل مثلثات ارائه شده، دیگه نیاز به هیچ خلاصه درس و فرمولنامه ای نداری ! فقط اینکه می‌تونی یه سر به ویدیوهای خفن آموزشی ما از این فصل بزنی تا فهم این نکات برات آسونتر بشه. در ضمن تو دوره صفر تا صد بطور کامل مباحث سه پایه با تستهای بسیار متنوع و درسنامه جامع ارائه شده که شما رو نسبت به هر کتاب آموزشی و تستی بی‌نیاز می‌کنه.

ریاضی لوتوس همچون سایت های فرادرس و آلاء ، به آموزش ریاضی به صورت کاملا تخصصی به همراه آموزش های ویدیویی و مقالات مرتبط با درس ریاضی در هر سه رشته تجربی ، انسانی و ریاضی می‌پردازد.